第一作者：Sean Molesky

通讯作者：Alejandro W. Rodriguez

通讯单位：普林斯顿大学

1. 背景

器件设计一直是纳米光子学（nanophotonics）的核心课题之一。优秀的器件设计允许研究人员在波长尺度甚至亚波长尺度上实现对电磁场的有效操控和研究，例如降低电磁场群速度，将电磁场限域在亚波长空间范围内，以及获得高品质的光学共振等等。在过去相当长的时间里，纳米光子器件的设计方法都是基于经典模板的启发式设计。这套丰富并被广泛使用的器件模板库包括光子晶体、光子晶体共振腔、柱型共振腔、回音壁共振腔、表面等离子激元单元等等（见图1）。

图 1光子器件设计的发展过程。上图：二十世纪下半叶，制造能力的提升使光子工程扩展到微米级和纳米级。在过去的二十年中，这促成了光子学设计模板标准库的快速发展。从左到右，显示从Fabry-Pérot腔，光纤腔到微盘谐振器器件小型化的过程。a-f，纳米光子器件模板库实例。(a) PhC缺陷共振腔，(b)PhC光纤，(c)柱型共振腔，(d)微环谐振器，(e)纳米束谐振器，(f)表面离子激元阵列。下图g-y：文中提到了使用逆向设计获得的纳米光子器件结构。(g) 1998-1999来自Spühler等人的SiO₂/SiON电信光纤脊波导耦合器，(h)来自Dobson和Cox等人的二维PhC；(i)2003-2008，Borel等人在硅基PhC中的利用拓扑优化设计的'Z'型波导；(j)Frei等人设计的单模缺陷腔；(k)来自Håkansson和Sánchez-Dehesa等人的1.50×1.55μm多路器；(l) Kao等人利用水平集优化获得的PhC；(m)Jensen和Sigmund等人设计的90°PhC弯折波导；(n)来自Borel等人的利用纳米压印制造的双端多路器。(o)2008-2015来自Tsuji和Hirayama的90°弯折波导；(p)Lu等人利用反向设计获得多孔波导纤维的横截面；(q)来自Alaeian等人设计的用于太阳能吸收的径向结硅线阵列的单元电池；(r)由Ganapati等人计算优化的表面纹理产生的太阳能吸收增强；(s)来自Men等人的三维fcc带隙优化的PhC；(t)由Liu等设计的受变换光学启发的弯折波导。(u)2015-2017由Ilic等人的优化设计的分层热发射器；(v)Frellsen等人设计的三端多路分离器；(w) Piggott等人的设计的双端口多路器以及和宽频1:3功率分配器；(x)来自Otomori等人利用拓扑优化设计的超透镜和相应的磁场幅度分布；(y)由Yu等人设计的紧凑型片上Fabry-Pérot谐振器。

尽管这套设计方法可以应对大部分传统应用场景并在过去很长时间里被验证是有效的，但随着纳米光子学逐渐向宽频、非线性以及集成光学等应用场景的拓展，这种模板化的器件设计方法开始显得力不从心。一方面，我们无法确保传统模板库的设计可以实现最优设计效果，另一方面从传统模板库出发我们也无法确保器件设计是否已经达到其性能极限以及与其他器件设计的比较优势在哪里。

在这种背景下，一种新兴的自上而下的设计方式——逆向设计（inverse design），又称反求设计——开始受到纳米光子学研究人员的重视，并经过近20年的发展逐渐探索出一系列的设计优化方法。近日，来自美国普林斯顿大学的研究人员在《NaturePhotonics》上刊发了他们对纳米光子学逆向设计的综述研究，总结了这一领域的发展情况以及面临的挑战，下面我们一起来了解一下。

2. 发展历史

对比设计流程可以迅速了解逆向设计与传统设计流程的差异。传统的基于模板的器件设计依靠对相关物理过程的先验知识与经验，从模板库中按图索骥挑选出合适的设计原型，再通过对既有器件方案的局部调整来满足特定应用场景的特性需求。相反，逆向设计则是从所需要的特性结果直接出发（优化目标），通过相关方法论和计算原理（优化算法，器件模拟仿真等）对多个设计参数同时优化，直接反求出所需的光学结构。

这种设计方法将器件的设计问题转换为多参数的优化问题，使器件构型不拘泥于某种特性的基础样式，因而对不同的设计需求有更强的适应性，可以提供更为系统和全面的器件特性优化，甚至创生出全新的器件构型模式。从一种更高层的角度来看，逆向设计理论上还可以用来探究器件的性能极限，这对纳米光子学的器件理论发展有极其重要的指导价值。

事实上反求问题在物理学领域已经有超过几百年的发展历史，一些早期的例子包括求解最速曲线（branchistochrone problem），最小作用量（principle ofleast action），以及特征值反求解微分方程等等。他们拥有的一个共同特征是基于一个已知的优化目标函数，在某种系统演化规则（运动方程、微分算子等）的指导下反求出系统的特性参数。

在纳米光子学领域，关于逆向设计较早的尝试可以追溯到90年代末期。当时，Spühler等人使用了遗传算法设计并最终制造了一组基于SiO₂/SiON的电信光纤脊形波导耦合器。遗传算法优化了SiON核心的分布间距，获得了较直接耦合相比2dB的效率提升（图1g）。Cox和Dobosn等人则使用了梯度下降算法实现了对二维周期阵列的能带宽度优化，使结构能隙增大了约34%（图1h）。这两个早期案例也分别代表了两种典型的优化求解流派，即基于随机演化的遗传（进化）优化和基于梯度信息的有向搜寻优化。遗传算法可以较好的处理复杂的非凸优化问题，然而需要更多的计算资源（往往多数个数量级）；而基于梯度的优化算法尽管更为经济通用，但是其搜寻结果往往止步于局部最优解（local optimum）。

在之后五年时间里，逆向设计在目标函数的设计方式以及数值求解方法上获得了巨大的发展。其中大部分的研究主要集中在两个方面，一是优化光子晶体的能带带宽，二是优化波导中的模式耦合。这类问题通常有具有较高的几何对称性，设计参数相对集中，可以使用基于梯度优化的方法很好的处理。典型的例子包括使用平面波展开法反求三维面心立方（fcc）光子晶体，使用级联算法（cascading algorithm）迭代优化绝热光纤锥（taper），以及使用拉格朗日最值法优化光子晶体共振腔设计等。

影响更为深远的发展发生在2003至2005年这段时间中，其成果也基本确定了该领域随后十多年的发展格局。一方面，逆向设计在这段时间里进一步拓展了其在光学领域的实用价值，囊括了宽频低损耗弯折光子晶体波导（低于1%的传输损耗，见图1），微纳分频多路器（例如传输损耗不超过23%的三端多路器，见图1），宽禁带光子晶体设计等一系列前沿应用。另一方面，随着密度拓扑（density topology）和水平集（level-set）等拓扑优化方法的引入，极大的拓展了逆向设计的通用性和计算效率。这两种计算方法也成为目前两种较为主流的逆向设计形貌优化方法。

以拓扑优化取代参数化的曲线形貌优化为器件的构型设计提供了一种更全面和系统的优化方案。以水平集（level-set）方法为例，介质材料的分布边界不再是一套基于解析几何的参数化曲线，而是表示为一个高维曲面与参考水平面的相交。曲线的演化因而也就不再拘泥于固定解析方程式的参数变化，而可以通过高维曲面与参考水平面的相对运动实现复杂的拓扑变化。密度拓扑优化( density topology）则更为直接，它将优化区域表示为一系列离散化的像素单元，每个单元的电磁参数特性，如介电常数，被表示为多种备选材料非此即彼的参数组合。通过求解最终的优化方程便可以直接获得介质材料在每个像素单元的分布模式。

3. 应用领域

得益于上述设计方法与计算方法的进步，逆向设计在纳米光子学领域继续高歌猛进，开始向太阳能收集、色散工程、亚波长聚焦、纳米光刻等应用上开疆拓土。目前，逆向设计主要被应用在非线性光学（Nonlinear optics）、奇异与拓扑光子学（Exceptionaland topological photonics）、纳米光学和超颖表面(Nanoscale optics and metasurfaces)等器件的设计上。

图 2非线性光学。图中显示了逆向设计在非线性光学领域的三个初始应用。a，由非周期性交替的AlGaAs /AlO_x层组成的共振腔，可以用于增强二次谐波产生的效率。b，c，使用密度拓扑优化的得到的砷化镓多轨环型谐振器，用于(b)二次谐波和(c)差频的产生。d，用于二次谐波产生的磷化镓超颖表面。非线性品质因子在上述所有的设计中均比先前报道的基于传统模板库的设计好的一到三个数量级。e，各类用于二次谐波生成器的设计对比，图a中的逆向设计拔得头筹。

在非线性光学领域，逆向设计主要被用来指导光学共振腔的设计。拥有长作用时间、小作用范围的高品质共振腔是实现非线性光学效应的关键部件之一，其往往需要对作用频率、共振模式衰减率、以及非线性耦合度等多项参数同时优化。经典的模板设计通常无法处理这类复杂的多参数优化问题，但这却是逆向设计的标准应用场景。例如在设计二次谐波和差频发生器上，逆向设计的结果一般可以使非线性效应指数提高一到三个数量级（图2），这对于实现片上光子集成、低阈值激光、超连续光谱、单光子光源和非互逆器件有极其重要的价值。

控制器件的能带特性一直是逆向设计的主要应用场景之一，而随着拓扑光子学的兴起，利用逆向设计获得器件奇异点（Exceptionalpoint）再一次成为一个热门方向。奇异点出现在非厄米（non-Hermitic）系统中，通常表现为多个能态融合合并为一个态。区别于普通的能级简并现象，即多个态拥有相同的能量，奇异点上只拥有一个合并的态，并在其附近伴随出现剧烈的能量变化。跨越奇异点会往往会出现模式跳变等反常现象，因此它在有向输运（directional transport）、反常激光（anomalous lasing）和频率选择等方面有独特的应用的价值。

奇异点可以出现在不同的光学系统中，传统的奇异点设计方法一般采用增益-损耗介质耦合共振器、耦合波导等结构实现。逆向设计可以在结构中更为灵活的创造奇异点，以适应其他的器件设计限制条件。例如图3左中展示了基于密度拓扑优化设计的带有奇异点的二维光子晶体。

图 3（左）奇异与拓扑光子学。a，b，通过密度拓扑优化获得的二维正方晶格及其中的模式分布和能带图。c，d，在布里渊区的Γ点处单极，偶极和四极模式（标记为M，D和Q）合并产生异常点。 所得到的Dirac能带结构和及其自正交的光学模式极大的增强了该点附近的局部态密度（LDOS），可以引发导致增强的自发辐射和非线性效应。（右）实验制造的多路器。a，b，Piggott等人设计的宽带双通道多路器的扫描电子显微镜图像，用于分离1,300 nm（蓝色）和1,550 nm（红色）信号。c，d，Su等人设计的三通道多路器，用以分离分离1,500 nm（蓝色），1,540 nm（绿色）和1,580 nm（红色）的信号。

大规模优化算法在纳米光学和超颖表面设计上也同样表现突出。例如Bahargave和Yablonovitch等人使用含边界的优化算法设计出了自热率较目前工业标准低50%的近场换能器（图4a）；Lee等人使用边界元素法（boundary element method）设计出了适用于任意纳米结构的电磁场力矩装置（图4b）；Deng和Korvnik等人则利用密度拓扑法为球形导体设计出了基于单种材料的隐身器，使共轴散射功率降低了一个数量级（图4c）。

图 4逆向设计的进一步发展。a，用于热辅助磁记录的近场换能器（Fat NFT），与工业标准99相比，自热率降低50％。 b，在采用反向设计以增加光学扭矩的装置。c，使用拓扑优化设计的三维电磁隐身器。 d，使用逆向设计获得的超颖表面对红外光谱的有效分离。e，1)使用逆向设计获得的波导耦合器，其比比传统结构有更大的带宽。f，利用逆向设计优化环形谐振器与多个模波导之间的多模耦合。

上述的每个设计案例都难以通过对标准设计模板的简单调参来实现。此外，采用伴随密度拓扑优化设计出的超颖平面结构在折射控制、结构显色（structural colour）、入射耦合、极化控制、吸收增强等传统光学领域也取得了积极的成果。

在光伏领域应用方面，Lee等人在2017年首次报道了通过逆向设计在非晶硅表面引入准随机几何纹样从而使其对400 nm到1200 nm入射光的陷光能力提升了约5倍左右（图5a）。而Kim和Xiao等人分别设计出了效率约为70%的红外分光器，以实现光伏系统的分频高效运行（图4d）。之前提到的高保真模式多路器也是逆向设计的另一个经典的成功案例。Frellse和Piggott等人就使用密度拓扑法设计出了尺寸在数个平方微米，传输损耗在5dB以内的电讯多路器（图3右）。

图 5逆向设计超颖表面上的应用。a，由Sell等人设计的一种能够实现1,000 nm和1,300 nm TE偏振光角度分离的超颖表面结构，其具有75％的绝对效率（Eff_abs）和95％的相对效率（Eff_rel）。 b，Callewaert等人为微波应用（~26-33 GHz）设计的三维极化分离器，可实现对不同极化方向入射光的有向分离。c，由Lee等人设计实现的基于表面准随机纹样实现光吸收增强的非晶硅太阳能电池。d，由Shen等人设计的一种基于拓扑优化设计的偏振器，具有约90％的转换效率。

4. 总结与展望

然而，不得不承认的是，逆向设计目前依然面临巨大的挑战。尽管从2004年以来大量的设计结构被确认为是工艺可行的，但至今没有任何一个结构能实现广泛的工业应用。这主要归因于逆向设计获得的极小的特征尺寸往往只能采用电子束光刻才能够精准的制备，而不是更为经济通用的传统光刻技术。

从概念上来说，这一问题可以通过增大逆向设计中的最小离散单元（像素单元）的尺寸来解决，但降低离散精度往往会导致优化程度的下降，很多在之前被广泛使用的基于光滑连续曲线的优化算法也面临失效的风险。因此，为了使逆向设计能获得更为广泛的应用，最为关键的一个条件是提出一种有足够稳定性的，能匹配适应传统光刻技术的优化计算方法。一些早期的尝试包括使用尽可能大的离散单元或曲率，并将工艺误差的影响考虑进优化目标函数。

除此之外，器件的迭代优化求解过程需要使用大量的仿真模拟来获得器件性能的调控响应，这也对计算资源和计算效率提出了更高的需求。高性能的器件模拟技术也将是成为推动逆向设计进一步发展的重要一环。这也表明，基于计算机仿真模拟的器件物理研究方法将是纳米光子学未来发展的主要方向之一，其不但可以在传统分析场景中为器件的工作原理建立清晰直观的物理场景，更是实现器件参数调优、器件电脑辅助设计(CAD)的重要核心技术。

参考文献：

Molesky S, LinZ, Piggott A Y, et al. inverse design in nanophotonics. Nature Photonics, 2018.

DOI: 10.1038/s41566-018-0246-9

https://www.nature.com/articles/s41566-018-0246-9#article-info